FUNCIONES

1. ¿Cómo puedes expresar la relación entre dos magnitudes como, por ejemplo, la masa y el volumen de un cuerpo?

La correspondencia numérica entre los valores de dos magnitudes como masa y volumen se puede expresar como  una función lineal o de proporcionalidad directa donde los valores de las variables son directamente proporcionales. Esto implica que si el valor de la variable independiente aumenta o disminuye, a su vez el valor de la variable dependiente también lo hace en la misma relación respectivamente. El cociente entre los valores de X e Y es siempre constante y corresponde al valor de m que es la constante de proporcionalidad

Su ecuación es de la forma: y = mx  (para m distinto de cero). Siendo m la constante de proporcionalidad directa de la variable dependiente y respecto de la variable independiente x.

Para expresarlo podemos utilizar:

a)      Una tabla de valores de la función viendo la relación entre ambas variables, siendo la variable independiente el volumen y la dependiente, la masa. Así por ejemplo, tenemos que:

Volumen (m3)	Masa (kg)
0	0
1	1000
2	2000
3	3000
4	4000

b)    Una gráfica, donde el eje de abscisas X, se pondrán los valores de la variable independiente (volumen) y en el eje Y, los valores de la variable dependiente (masa). La primera coordenada de cada punto es cada uno de los valores de la variable independiente y la segunda, su imagen.

2. ¿Qué es una función? ¿De qué formas pueden expresarse las relaciones entre magnitudes? Pon ejemplos de funciones de la vida cotidiana; puedes buscar en revistas, periódicos, etc.

Una función es una correspondencia numérica en la que a cada elemento del conjunto inicial se le asigna un único elemento denominado imagen del conjunto final. El conjunto inicial recibe el nombre de dominio de una función y el conjunto formado por todas las imágenes el de recorrido de la función.

La relación entre magnitudes  se puede expresar mediante el lenguaje en un texto, tablas, gráficas y ecuaciones o expresiones algebraicas. Esta relación puede ser:

·         Magnitudes directamente proporcionales: Dos magnitudes son directamente proporcionales, si al cambiar el valor de la magnitud independiente, los valores de la magnitud dependiente cambian en la misma proporción. Al realizar la gráfica cartesiana de la magnitud directamente proporcional se obtiene una línea recta que pasa por el origen, el cociente entre los valores de las magnitudes es siempre constante y recibe el nombre de constante de proporcionalidad.

Ejemplos de la vida cotidiana:

-          Cuanta más agua gasto más pago en la factura del agua.

-          Cuanto más llueve más se llenan los embalses.

-          Cuantas más personas invitadas a comer más comida debo preparar.

 

·         Magnitudes inversamente proporcionales: Dos magnitudes son inversamente proporcionales, cuando el valor de la magnitud independiente es creciente, el valor de la magnitud dependiente es decreciente en la misma magnitud. El producto de dos magnitudes inversas es constante (X.Y=Cte).

Ejemplos de la vida cotidiana

- Para llenar la piscina cuantos más grifos abro menos tiempo tarda.

- Cuanto más suben los precios de las cosas menos me alcanza mi dinero.

3. ¿Qué es la tasa de variación de una función? ¿Qué valores toma para las funciones crecientes y decrecientes? Puedes utilizar ejemplos gráficos para responder.

La tasa de variación de una función es el incremento  o disminución que experimenta la función, al pasar la variable independiente de una valor a otro y esta variación nos da un número.

-          Sí este número es > 0 decimos que la función es creciente

-          Sí por el contrario, es < 0 decimos que la función es decreciente.

 

4. Utilizando la representación gráfica de una o varias funciones, explica las diferencias entre máximos y mínimos absolutos y relativos.

El máximo absoluto en una función, es cuando la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función. Por otro lado, la función tiene su mínimo absoluto si la ordenada es menor o igual a cualquier otro punto de la función.

 

Máximo y mínimo absoluto

La función tiene un máximo relativo en el punto  a(-1,2), si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a. En cambio, La función tiene un mínimo relativo en el punto b (1,-2), si f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto b.

 

Máximo y mínimo relativo

5. Representa gráficamente dos ejemplos de funciones simétricas respecto al eje de ordenadas (eje y) y respecto al origen (0,0). Explica en qué consiste cada tipo de simetría.

-          Función simétrica par: Si una función f verifica que f(x)=f(-x), se dice que la función es par y entonces su gráfica es simétrica respecto del eje OY.

Función simétrica par

-          Función simétrica impar: Si una función verifica que f(-x)=-f(x), se dice que es función impar y entonces su gráfica es simétrica respecto del origen de coordenadas O(0,0).

Función simétrica impar

6. Representa gráficamente una función periódica indicando por qué se denomina de esa forma.

Las funciones periódicas son aquellas en las que tienen ondas que muestran periodicidad respecto al tiempo, es decir, describen ciclos repetitivos.

Función periódica coseno

 

7. Pon dos ejemplos, uno de función continua y otro de función discontinua. ¿Cuál es la diferencia entre ambas?

Función continua: Una función es continua cuando su gráfica es una línea seguida, no interrumpida.

Función discontinua: Una función es discontinua cuando su función f es definida en un intervalo abierto y es interrumpida.

 

Función continua (izquierda) y función discontinua (derecha)

 

Para que una función sea continua se deben cumplir 3 condiciones:
1-Tanto su límite lateral por la izquierda como por la derecha deben ser iguales
2- Además la función debe estar definida en dicho punto de análisis
3- Tanto el paso 1 y el paso 2 deben ser iguales

Si no cumple con una de las 3 condiciones se dice que es discontinua en ese punto.

8. Investiga: ¿Cuál es el origen del término función?

El término función nació ligado a la idea de dependencia de cantidades variables, en unión al estudio del movimiento, en época de Galileo Galilei, y con la caracterización dada por Nicolás de Oresme: "Todo lo que varía, se sepa medir o no, lo podemos imaginar como una cantidad continua representada por un segmento". Esta concepción de carácter físico y geométrico antecedió a la noción cartesiana de dependencia numérica. Este concepto resultó demasiado restrictivo para las necesidades de la física matemática, por lo que la idea de función debió pasar por un largo proceso de generalización y clarificación.

El concepto de función como un objeto matemático independiente, susceptible de ser estudiado por sí solo, no apareció hasta los inicios del cálculo en el siglo XVII. []Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su recorrido".

9. Representa gráficamente las funciones que se proponen indicando sus propiedades. Elabora una tabla resumen con todas las gráficas obtenidas.

a) Función lineal creciente

Una función f es creciente si al aumentar la variable independiente x, aumenta la variable dependiente y. Es decir, la función f es creciente si para cualquier par de puntos x₁ y x₂ del dominio tales que x₁<x₂, se cumple que f(x₁) ≤ f(x₂). Su pendiente m>0.

 

La función es estrictamente creciente en todo su dominio si para cualquier par de puntos x1 y x2 tales que x1<x2, se cumple que f(x1) < f(x2).

b) Función lineal decreciente

Una función f es decreciente si al aumentar la variable independiente x, disminuye la variable dependiente y. Es decir, la función f es decreciente si para cualquier par de puntos x1 y x2 del dominio tales que x1<x2, se cumple que f(x1) ≥ f(x2). Su pendiente m<0.

 

La función es estrictamente decreciente en todo su dominio si para cualquier par de puntos x1 y x2 tales que x1<x2, se cumple que f(x1) > f(x2).

c) Función lineal constante

La función constante es del tipo: y = n

El criterio viene dado por un número real.

Su pendiente m=0.

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

En resumen:

d) Rectas paralelas

Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.

 

e) Función cuadrática cóncava

Si  a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba.

f) Función cuadrática convexa

Si  a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo

Además, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola.

 g) Investiga sobre la representación gráfica de otras funciones

La función exponencial o hipérbola es del tipo:  Siendo a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.

Ejemplos:  f(x)=2^x

 

X	Y= 2X
-3	1/8
-2	¼
-1	½
0	1
1	2
2	4
3	8

 

f(x)=(1/2)^x

 

X	Y= (½)x
-3	8
-2	4
-1	2
0	1
1	1/2
2	¼
3	1/8

 

 

 

 

Propiedades de la función exponencial

Dominio: R

Recorrido: R+

Es continua.

Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la gráfica.

Es inyectiva a ≠ 1(ninguna imagen tiene más de un original).

Creciente si a > 1.

Decreciente si a < 1.

Las curvas y = ax e y = (1/a) x  son simétricas respecto del eje OY.

 

 

 

10. Investiga sobre la representación de funciones en coordenadas polares.

Las coordenadas polares o sistemas polares son un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por una distancia y un ángulo, ampliamente utilizados en física y trigonometría.

De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le llama origen o polo, y una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano), como sistema de referencia. Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar distancias entre cada par de puntos del plano), todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El valor θ crece en sentido antihorario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar».

En el caso del origen, O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).

Localización de un punto en coordinadas polares 

 

 

·         Paso de coordenadas polares a rectangulares y viceversa

En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y el ángulo del vector de posición sobre el eje x.

 

 

Diagrama ilustrativo de la relación entre las coordenadas polares y las coordenadas cartesianas.

Conversión de coordenadas polares a rectangulares

Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo Ѳ  sobre el eje x, y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene:

X=r cos Ѳ

X=r sen Ѳ

Conversión de coordenadas rectangulares a polares

Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x, y), se tiene que la coordenada polar r es: (aplicando el Teorema de Pitágoras)

 

r² = x²+y²

Para determinar la coordenada angular θ, se deben distinguir dos casos:

• Para = 0, el ángulo θ puede tomar cualquier valor real.
• Para ≠ 0, para obtener un único valor de θ, debe limitarse a un intervalo de tamaño 2π. Por convención, los intervalos utilizados son [0, 2π) y (−π, π].

·         Ecuaciones polares

Se le llama ecuación polar a la ecuación que define una curva expresada en coordenadas polares. En muchos casos se puede especificar tal ecuación definiendo como una función de θ. La curva resultante consiste en una serie de puntos en la forma ( (θ), θ) y se puede representar como la gráfica de una función.

Se pueden deducir diferentes formas de simetría de la ecuación de una función polar . Si (−θ) =  (θ) la curva será simétrica respecto al eje horizontal (0°/180°), si (180°−θ) =  (θ) será simétrica respecto al eje vertical (90°/ 270°), y si (θ−α°) =  (θ) será simétrico rotacionalmente α° en sentido horario respecto al polo.

Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polar, muchas curvas se pueden describir con una simple ecuación polar, mientras que en su forma cartesiana sería mucho más intrincado. Algunas de las curvas más conocidas son la rosa polar, la espiral de Arquímedes, la lemniscata, el caracol de Pascal y la cardioide.

Ejemplo: Rosa polar

La rosa polar

es una famosa curva matemática que parece una flor con pétalos, y puede expresarse como una ecuación polar simple, 

r (Ѳ)= a cos (K Ѳ +ᶲ0)

para cualquier constante ᶲ0 (incluyendo al 0). Si k es un número entero, estas ecuaciones representan una rosa de k pétalos cuando k es impar, o 2k pétalos si k es par. Si k es racional pero no entero, la gráfica es similar a una rosa pero con los pétalos solapados. Nótese que estas ecuaciones nunca definen una rosa con 2, 6, 10, 14, etc. pétalos. La variable a representa la longitud de los pétalos de la rosa.

Rosa polar de 3 pétalos

 

11. Utilizando uno de los programas anteriores investiga sobre la representación gráfica de funciones en el espacio (x, y, z).

La gráfica de una función de dos variables z = f (x,y) puede interpretarse geométricamente como una superficie  en el espacio de forma tal que su proyección sobre el plano XY es , el dominio de f. En consecuencia, a cada punto (x, y) en le corresponde un punto (x, y, z) en la superficie y, a la inversa, a cada punto(x, y, z) en la superficie le corresponde un punto (x, y) en (figura 1).

 

 

Ejemplo, gráfica de la función

 z = x2 + y2

La gráfica de esta tipo funciones es muy común y se conocen como paraboloides

Este paraboloide tiene su eje de simetría paralelo al eje , es de esperar que un paraboloide como  y = x² + z² tenga su eje de simetría  paralelo al eje y.

12. Utiliza el programa que has elegido para resolver gráficamente el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas siguiente:

  3 x - 2 y = 4

2 x + 3 y = 33

13. Elige un modelo de coche que disponga de motorizaciones diesel y otro de gasolina, y realiza un estudio gráfico de la función coste que nos permita averiguar cuál es el automóvil más adecuado para nosotros en función del número de kilómetros que recorremos anualmente. (Nota: Necesitas el precio del coche, el del combustible y el consumo combinado)

Vehículo1. Precio 50.000€. Precio litro gasolina 1,30€. Consumo 9 L/100Km. Uso  10.000 Km/año

Vehículo 2. Precio 15.000€. Precio litro diesel 1,30€. Consumo 9 L/100Km. Uso  10.000 Km/año

Vehículo1.		Vehículo2.
Precio 25.000€	Y= 25000+600 X	Precio 15.000€	Y=15000+600 X
Consumo: 5 L/100Km	5/100= 0,05L/Km	Consumo:7 L/100Km	7/100= 0,07 L/Km
Precio litro gasolina 1,20€	0,05x1,20= 0,06€/Km	Precio litro diesel 1,05€	0,07x 0,90= 0,06 €/Km
Uso  10.000 Km/año	0,06x10000= 600€/año	Uso  10.000 Km/año	0,06x10000=  600€/año

 

 

X Y=15000+600 X 0 15000 1 15600 2 16200 3 16800 4 17400

X	Y=25000+600 X
0	25000
1	25600
2	26200
3	26800
4	27400

 

  14. Interpreta la gráfica del recorrido del Maratón Popular de Madrid

La salida se encuentra a 640m y van subiendo hasta 720m en 5 minutos, después descienden hasta 680m donde se mantiene constante hasta los 10 minutos, a partir de los 10 minutos empieza otra vez a descender hasta situarse por los 640m aproximadamente y se mantiene más menos hasta los 18 minutos, a partir de aquí  suben hasta los 720m en el minuto 25 donde se mantienen hasta minuto 28 que van descendiendo hasta bajar a los 690m en el minuto 30, y siguen descendiendo hasta el minuto 32 a los 650m. A partir de aquí vuelven a subir a los 700m en el minuto 36 y luego van descendiendo hasta mantenerse entre el minuto 37 y 38, para descender bruscamente en el minuto 39 a lo 655m y volver a subir progresivamente a los 680m en el minuto 40 y medio y llegar a la meta en el minuto 42 y medio a 670m.

15. Explora el uso del programa SURFER en imaginary

Con SURFER es posible experimentar la relación entre fórmula y forma, es decir, matemáticas y arte, de una manera interactiva. Se pueden introducir ecuaciones simples que producen bonitas imágenes, que son superficies en el espacio.

SURFER es una extensión basada en Java del programa SURFER2008 creado para la exposición IMAGINARY en el Año de las Matemáticas en Alemania.

De forma matemática, el programa visualiza la geometría algebraica a tiempo real. Las superficies que se muestran son las que están dadas por una ecuación polinómica en las variables x, y, z igualada a 0. Todos los puntos que resuelven la ecuación se representan, y forman la superficie. Como ejemplo, consideremos x2+y2+z2-1=0, la ecuación de la esfera. Se puede ver fácilmente que el punto (x, y, z) = (0,0,0) no está en la esfera, mientras que, por ejemplo, los puntos (1,0,0), (0,1,0) y (0,0 , -1) son solución de la ecuación. El programa incluye una gran galería de muestras con explicaciones y un tutorial. Está disponible en varios idiomas, incluyendo alemán, español, ruso, serbio y portugués.

Lo fabuloso de SURFER es que, a priori, no es necesario entender las matemáticas que hay por debajo (geometría algebraica), se puede experimentar, probar, seguir la intuición y creatividad de uno mismo y crear una obra de arte única, como imágenes o animaciones.

Arte y matemáticas

¡Está claro que esto no puede ser un limón!

Seguramente al ver esta imagen todos pensamos "Esto es un limón". Pero, si es un limón, ¿por qué no tiene olor ni sabor? ¿Por qué no tiene poros ni manchas? ¡Está claro que esto no puede ser un limón! En realidad, esta figura es un modelo matemático que nos ayuda a entender mejor las propiedades de la forma que tiene el limón. Ecuaciones como x2 + z2 = y3 (1 - y)3 nos permiten construir modelos matemáticos que nos ayudan a estudiar mejor la forma de las cosas.

 

 

 

 

 

 

 

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