Gometría

Trabajo de GeoGebra

·       Triángulos

1.1 Propiedades y tipos de triángulos.

1-      Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

2-       La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

3-      El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

        Tipos de triángulos. Los triángulos se pueden clasificar:

v  Según la medida de sus lados (2ª fila del dibujo1)

o   Equilátero: Tiene iguales sus tres lados y son iguales sus ángulos interiores.

o   Isósceles: Tiene dos lados iguales y uno desigual. Los dos ángulos de los lados iguales son iguales también y el distinto agudo.

o   Escalenos: Tiene diferentes sus tres lados y sus tres ángulos.

v  Según la medida de sus ángulos ( 1ª fila del dibujo1)

o   Obtusángulo: Un ángulo obtuso (> 90 grados) y los otros dos ángulos agudos (< 90 grados).

o   Rectángulo: Un ángulo recto (= 90 grados) y dos ángulos agudos (< 90 grados). Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos (c y b), el otro lado hipotenusa.

o   Acutángulo: Tres ángulos agudos (< 90 grados)

 Figura 1

1.2 Rectas y puntos nobles en el triangulo.

Sabiendo que la altura de un triángulo es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación) a dicho vértice.

• Ortocentro

El ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de las tres alturas del triángulo (siendo una altura el segmento que parte de un vértice y es perpendicular al lado opuesto a dicho vértice). Entonces para representar gráficamente el ortocentro de un triángulo dibujamos las tres alturas y nos quedamos con el punto en el que se intersecan. En esta figura puede verse el ortocentro de un triángulo:

•         Incentro

El incentro es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus lados es la misma (el radio de dicha circunferencia). Más concretamente, es el punto de intersección de las bisectrices de cada uno de los ángulos del triángulo (siendo una bisectriz la recta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales), por lo que para representarlo gráficamente debemos dibujar las tres bisectrices y localizar el punto de intersección de las mismas. En la imagen siguiente podéis verlo:

• Baricentro

   El baricentro (también llamado centroide) de un triángulo es el punto de intersección de las medianas de dicho triángulo (siendo una mediana el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto). Por ello, para representar gráficamente el baricentro debemos dibujar las tres medianas y localizar el punto en el que se cortan. Esta figura muestra el baricentro de un triángulo:

• Circuncentro

El circuncentro de un triángulo es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus vértices es la misma (el radio de dicha circunferencia). En concreto, es el 

punto de intersección de las mediatrices del triángulo (siendo una mediatriz la recta perpendicular a

 un lado que pasa por el punto medio del mismo). Por tanto, para representar gráficamente el 

circuncentro dibujamos las tres mediatrices y localizamos el punto de intersección de las mismas. 

Puede verse el circuncentro de un triángulo en la siguiente imagen:

Recta de EULER

El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo no equilátero están alineados; es decir, pertenecen a la misma recta, llamada recta de Euler.

1.3 Teorema de Pitágoras.

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

      

1.3.1. Demostración gráfica.

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

h² = b² + c²

1.3.2. Teorema en 3D.

 

Aplicaciones del teorema de Pitágoras:

1.- Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa
     

     A = hipotenusa;  b y c = catetos

       

2.- Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto
    

3.- Conociendo sus lados, averiguar si es rectángulo

Para que sea rectángulo el cuadrado de lado mayor ha de ser igual a la suma de los cuadrados de los dos menores.

  L²=l²+l²   (L= Lado mayor; l = lado menor)

Aplicaciones del teorema de Pitágoras

1.- Diagonal del cuadrado

d² =l ²+ l ²

2.- Diagonal del rectángulo 

     d²= b²+h²

3.- Lado oblicuo del trapecio rectángulo


n= B-b

4.- Altura del trapecio isósceles

n= B-b/2

5.- Altura del triángulo equilátero

6.-Apotema de un polígono regular

7.- Apotema del hexágono inscrito

l = r

8.- Lado de un triángulo equilátero inscrito

9.- Lado de un cuadrado inscrito

1.4. Teorema de Thales

Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

     

No he podido quitar los puntos, no los tengáis en cuenta. La T y S son dos rectas cortadas por tres rectas paralelas. Lo que dice el teorema es que el segmento AB es semejante al segmento A2B2, y el segmento BC es semejante al segmento B2C2, a su vez son semejantes los segmentos AC y A2C2.

 

Teorema de Thales en un triángulo

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

     

La misma relación de semejanza entre segmentos AB y AB1, AC y AC1 y BC y B1C1

Semejanza de triángulos

Los lados a y a', b y b', c y c' se llaman lados homólogos.


Son ángulos homólogos:

Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales.

     

La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama razón de semejanza.

La razón de los perímetros de los triángulos semejantes es igual a su razón de semejanza.

La razón de las áreas de los triángulos semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza.

Criterios de semejanza de triángulos

Se dice que dos triángulos son semejantes si cumplen alguno de estos criterios, dos o los tres.

1.- Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.

     

2 Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.

     

3 Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual.

     

Aplicaciones de la semejanza de figuras. Cálculo de la altura de un objeto

Para medir alturas de objetos a los que no podemos acceder se puede utilizar semejanza de figuras.

Se hace que la altura que queremos calcular forme parte de un triángulo rectángulo del que se conoce un lado. Se construye otro triángulo semejante al anterior con longitudes conocidas. La medida de los lados del triángulo pequeño y las del grande son proporcionales:

Altura desconocida/BC = A´B´/B´C´

Ejemplo: Calcular la altura de un árbol a partir de su sombra.

Un árbol proyecta una sombra de 5 m. a la misma hora una persona  de 1.70 m de altura proyecta una sombra de 50 cm. ¿Cuál es la altura del árbol?

La altura y la sombra, tanto de la persona como del árbol, forman entre ellas un ángulo recto. Consideramos entonces el triángulo que se forma uniendo sus extremos.

Unificamos las unidades y expresamos la proporción entre los lados.

Altura árbol/sombra árbol= altura persona/sombra persona

h árbol / 5m = 1,70 m / 0,5 m

h árbol = 7 x 1,70 / 0,5

h árbol = 17 m