2. Lugares geométricos
- ¿Qué es un lugar geométrico?
Un lugar geométrico es un
conjunto de puntos que satisfacen determinadas condiciones o propiedades
geométricas.
- La mediatriz y la bisectriz
Ejemplos de lugares geométricos en el plano:
El lugar geométrico de los puntos que equidistan a
otros dos puntos fijos Ay B es una recta o eje de simetría
de dichos dos puntos. Si los dos puntos son los dos extremos de un segmento AB,
dicha recta o lugar geométricos, es llamada mediatriz y es la recta que se interseca
perpendicularmente a AB en su punto
medio.
La bisectriz es también un lugar geométrico. Dado un
ángulo la bisectriz cumple la propiedad de que todos sus puntos
equidistan a los lados de dicho ángulo, convirtiéndose la bisectriz en un caso
particular del lugar geométrico que sigue a continuación.
2.3 Las cónicas
2.3.1 ¿Qué es una cónica?
- La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto determinado, el centro, es un valor dado (el radio).
- La elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de su distancia a dos puntos fijos, los focos, es una constante dada (equivalente a la longitud del semieje mayor de la elipse).
- La parábola es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un foco equivale a su distancia a una recta llamada directriz.
- La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia entre sus distancias a dos puntos fijos, los focos, es igual a una constante (positiva), que equivale a la distancia entre los vértices.
2.3.2
La circunferencia
Una circunferencia es el lugar geométrico de
los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad
constante que se denomina radio.
Distíngase del círculo, que es el lugar
geométrico de los puntos contenidos en el interior de dicha circunferencia, o
sea, la circunferencia es el perímetro del círculo. Los puntos
de la circunferencia están a una distancia igual al radio del centro del
círculo, mientras los demás puntos del círculo están a menor distancia que el
radio.
Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales, o los focos coinciden; o
bien fuera una elipse cuyas directrices están en el infinito. También se puede
describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono regular de infinitos lados, cuya
apotema coincide con su radio.
Una circunferencia (C) en negro, diámetro (D)
en azul, radio (R) en rojo, y centro
(O).
La
circunferencia es una curva plana y cerrada donde todos sus puntos están a
igual distancia del centro.
Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:
- Centro, es el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
- Radio. Es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. El radio mide la mitad del diámetro. El radio es igual a la longitud de la circunferencia dividida entre 2π.
- Diámetro. El diámetro de una circunferencia es el segmento que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. El diámetro mide el doble del radio. El diámetro es igual a la longitud de la circunferencia dividida entre π;
- Cuerda. La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. El diámetro es la cuerda de longitud máxima.
- Recta secante. Es la línea que corta a la circunferencia en dos puntos.
- Recta tangente. Es la línea que toca a la circunferencia en un sólo punto.
- Punto de Tangencia es el punto de contacto de la recta tangente con la circunferencia.
- Arco. El arco de la circunferencia es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Un arco de circunferencia se denota con el símbolo sobre las letras de los puntos extremos del arco.
- Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.
2.3.3
La elipse
La elipse es el lugar geométrico de
todos los puntos de un plano, tales que la
suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante.
Una elipse es la curva cerrada con dos ejes de simetría que
resulta al cortar la superficie de un cono por un plano
oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Una elipse que gira alrededor de su
eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira
alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado. La elipse es
también la imagen afín de una circunferencia.
La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre sí:
- El semieje mayor (el segmento C-a de la figura), y
- El semieje menor (el segmento C-b de la figura).
Miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente.
La elipse y algunas de
sus propiedades geométricas
- Obtención del cono: La elipse es la intersección de una superficie cónica con un plano, de tal manera que la inclinación del plano no supere la inclinación de la recta generatriz del cono, consiguiendo así que la intersección sea una curva simple cerrada. En otro caso la intersección pudiera ser una hipérbola o una parábola. Es por ello que a todas estas figuras bidimensionales o curvas planas se las llama secciones cónicas o simplemente cónicas.
- Método del jardinero: El método se basa en la definición más corriente de la elipse, como lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a los focos es constante.Se puede usar dos alfileres, lápiz e hilo.Procedimiento:
- Se clavan los dos alfileres en los puntos considerados como focos
- Se unen ambos alfileres con cada extremo de hilo
- Se tensa el hilo con el lápiz
- Deslizamos el lápiz en el papel, y la punta del lápiz dibujará el papel.
Modo de dibujar la elipse conocido
como "elipse del jardinero", mediante dos puntos fijos y una cuerda
Se denomina “del jardinero” a este método porque sirve para trazar en el
suelo elipses de gran tamaño y precisión suficiente, con medios modestos.
- Mesa de billar elíptica
El billar elíptico se trata de una mesa de billar en la que
las bandas rectas han sido sustituidas por una única banda continua de forma
elíptica. Es un dispositivo presente en algunos museos de ciencia que ya había
fabricado, entre otras ideas ingeniosas, Lewis Carrol (autor de Alicia en el
País de las Maravillas). Su característica principal es que cualquier bola lanzada desde un
foco, o que pase por él, acaba pasando por el otro foco después de rebotar en
la banda.
Las reglas que impone un billar elíptico son diferentes a
las de un billar convencional. Además de lo que hemos visto para cuando una
bola pasa por el foco, si no hay rozamiento y el movimiento puede prolongarse
en el tiempo, tiene que cumplirse:
- Una bola que pasa por el foco, pasa sucesivamente por los focos y su trayectoria irá acercándose poco a poco al semieje mayor.
- Si una bola pasa entre los focos, su trayectoria después de diversos rebotes pasará siempre entre los focos.
- Si pasa por el exterior de los focos, después de sucesivos rebotes seguirá siempre pasando por el exterior de los focos.2.3.4 La hipérbola
Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que
el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos,
llamados focos, es igual a la distancia
entre los vértices, la cual es una constante positiva.
Las asíntotas de la hipérbola se muestran como líneas discontinuas azules
que se cortan en el centro de la hipérbola (curvas rojas), C. Los dos puntos
focales se denominan F1 y F2, la línea negra que une los vértices es el eje
transversal. La delgada línea perpendicular en negro que pasa por el centro es
el eje conjugado. Las dos líneas gruesas en negro paralelas al eje conjugado
(por lo tanto, perpendicular al eje transversal) son las dos directrices, D1 y
D2. La excentricidad e (e>1), es igual al cociente entre las distancias (en
verde) desde un punto P de la hipérbola a uno de los focos y su correspondiente
directriz. Los dos vértices se encuentran en el eje transversal a una distancia
±a con respecto al centro.
- Obtención del cono
- La lámpara hiperbólica
2.3.5
La parábola
Dibujamos una recta L un punto S no situado en ella. Desde cualquier punto de Q de la recta trazamos la perpendicular
SQ. Una cantidad suficiente de rectas así constituidas envuelven una parábola
con foco en el punto S.
Obtención del cono
Aplicaciones de la parábola: Podemos fabricar la antena parabólica a partir de una parábola. Igualmente un horno solar y un espejo parabólico. El fundamento para su construcción es el mismo a partir de una parábola.
antena parabólica
espejo parabólico
horno solar 
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